Question

（2011•溫州二模）函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+

2

27

x+1的極值點是x₁，x₂，函數g（x）=x-alnx的極值點是x₀，若x₀+x₁+x₂＜2．
（I ）求實數a的取值范圍；
（II）若存在實數a，使得對?x₃，x₄∈[1，m]，不等式f（x₃）≤g（x₄）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I ）由f′(x)=x2-ax+

2

27

，x₁，x₂是方程x2-ax+

2

27

=0的兩個根，△=a2-

8

27

＞0，x₁+x₂=a，由g′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

，（x＞0）．知當a≤0時，g′（x）＞0，函數無極值點．當a＞0，x∈（0，a），g′（x）＜0；當x∈（a，+∞），g′（x）＞0，函數的極值點x₀=a．由此能求出實數a的取值范圍．
（II）由

2 6

9

＜a＜1，知g（x）在[1，m]上為增函數，故g（x）_min=g（1）=1．導函數f′（x）的對稱軸為x=

a

2

＜

1

2

，由此入手能夠求出實數m的取值范圍．

解答：解：（I ）∵函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+

2

27

x+1的極值點是x₁，x₂，，
∴f′(x)=x2-ax+

2

27

，x₁，x₂是方程x2-ax+

2

27

=0的兩個根，
∴△=a2-

8

27

＞0，x₁+x₂=a，
∵g（x）=x-alnx的極值點是x₀，
∴g′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

，（x＞0）．
當a≤0時，g′（x）＞0，函數無極值點．
當a＞0，x∈（0，a），g′（x）＜0；當x∈（a，+∞），g′（x）＞0，
函數的極值點x₀=a．
∵x₀+x₁+x₂＜2．
∴

2a＜2 △＞=a2-27＞0 a＞0

，
∴

2 6

9

＜a＜1．
（II）∵

2 6

9

＜a＜1，
∴g（x）在[1，m]上為增函數，
∴g（x）_min=g（1）=1．
導函數f′（x）的對稱軸為x=

a

2

＜

1

2

，x1x2=

2

27

，
∴x₁，x₂都是小于1的正數，
∵f′（x）=（x-x₁）（x-x₂），令x₁＜x₂，
∵x∈(x2，+∞)，f′(x)＞0，
∴f（x）在[1，m]上為增函數，
∴f(x) max=f(m)=

1

3

m3-

1

2

am2+

2

27

m+1，
∴

1

3

m3-

1

2

am2+

2

27

m+1≤1，
即-27m²a+18m³+4m≤0，
∵m＞1，令h（a）在（

2 6

9

，1）為減函數，
∴h（1）＜0，即18m³-27m²+4m＜0，
解得

1

6

＜m＜

4

3

，
∴1＜m＜

4

3

．

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．