Question

（本小題滿分14分）
已知函數.
(1)求在[0,1]上的極值；
(2)若對任意,不等式成立,求實數的取值范圍；
(3)若關于的方程在[0,1]上恰有兩個不同的實根,求實數的取值范圍.

Answer 1

(1)為函數在[0,1]上的極大值
(2)或
(3)

(1)求導，利用導數研究其單調區間和極值。導數等于零的點，若導數值滿足左正右負那么此點處取極大值，若是左負右正，此點處取極小值。
（2）解本小題的關鍵是先去絕對值把不等式轉化為或,然后再構造函數,,利用導數分別求h(x)的最大值，和g(x)的最小值即可。
解：（1），
令，得或（舍去）．當時， ,單調遞增；
當時，單調遞減．為函數在[0,1]上的極大值.  --4分
(2)由得
或,①    -------------6分
設,,
，
,
與都在上單調遞增,要使不等式①成立,
當且僅當或,即或.  ---------------9分
(3)由.
令,則,
當時,,于是在上遞增；
當時,,于是在上遞減.
而,，    ---------------11分
即在[0,1]恰有兩個不同實根等價于
，----------13分
．    --14分