Question

定義：對于函數，若存在非零常數，使函數對于定義域內的任意實數，都有，則稱函數是廣義周期函數，其中稱為函數的廣義周期，稱為周距．
（1）證明函數是以2為廣義周期的廣義周期函數，并求出它的相應周距的值；
（2）試求一個函數，使（為常數，）為廣義周期函數，并求出它的一個廣義周期和周距；
（3）設函數是周期的周期函數，當函數在上的值域為時，求在上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）2；（2），，；（3）．

解析試題分析：本題是一個新定義概念問題，解決問題的關鍵是按照新定義把問題轉化為我們熟悉的問題，（1）就是找到使為常數，考慮到，因此取，則有，符合題設，即得；（2）在（1）中求解時，可以想到一次函數就是廣義周期函數，因此取，再考慮到正弦函數的周期性，取，代入新定義式子計算可得；（3）首先，函數應該是廣義周期函數，由新定義可求得一個廣義周期是，周距，由于，可見在區間上取得最小值，在上取得最大值，而當時，由上面結論可得，最小值為，當時，，從而最大值為．
試題解析：（1），
，（非零常數）
所以函數是廣義周期函數，它的周距為2．  （4分）
（2）設，則


（非零常數） 所以是廣義周期函數，且．      （ 9分）
（3），
所以是廣義周期函數，且 ．             （10分）
設滿足，
由得：
，
又知道在區間上的最小值是在上獲得的，而，所以在上的最小值為．       （ 13分）
由得得：
，
又知道在區間上的最大值是在上獲得的，
而，所以