Question

【題目】已知函數.

（1）當時,求的單調遞增區間；

（2）證明：當時，有兩個零點；

（3）若，函數在處取得最小值，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明；（3）見證明；

【解析】

(1)對函數f(x)求導，解即可得到函數的單調增區間；(2)根據函數單調性和函數的極值以及圖像的趨勢即可得到證明；(3)對函數g(x)求導，求出單調性，由單調性得到函數取最小值時的x值即，代入f(x)即可得到證明.

（1）解：.

當時，由，得或.

故的單調遞增區間為.

（2）證明：函數f(x)定義域為，時，，

當時，在上單調遞增，在上單調遞減.

則.

且當），

所以有兩個零點.

（3）證明：，.

設，因為，所以在上為增函數.

又，.

所以.當時，；當時，.

所以函數在處取得最小值且，

.

因為，所以.