Question

【題目】已知函數， （為常數）．

（1）若函數與函數在處有相同的切線，求實數的值；

（2）若，且，證明： ；

（3）若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）由導數幾何意義得，因此先求導，再代入得： ， ，可得結果；（2）構造差函數，證明不等式轉化為求其最小值小于零，利用導數求其最大值： ， ，所以， ；（3）不等式恒成立問題，一般利用變量分離轉化為對應函數最值問題，也可直接構造差函數，分類討論最值進行求解.

試題解析：（1），則且．

所以函數在處的切線方程為： ，從而，即．

（2）由題意知：設函數，則．

設，從而對任意恒成立，

所以，即，因此函數在上單調遞減，于是，所以當時， 成立．

（3）設，從而對任意，不等式恒成立．

當時， 恒成立，此時函數單調遞增． 于是，不等式對任意恒成立，不符合題意。

2）當，即恒成立時， 單調遞減．

設，則， ，即，符合題意。

3）當時，設，則

當時， ， 單調遞增，

所以，故當時，函數單調遞增．

于是當時， 成立，不符合題意。

綜上所述，實數的取值范圍為．