Question

如圖,正方體ABCDA₁B₁C₁D₁的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段CC₁上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是　　　　(寫出所有正確命題的編號). 

①當0<CQ<時,S為四邊形;
②當CQ=時,S為等腰梯形;
③當CQ=時,S與C₁D₁的交點R滿足C₁R=;
④當<CQ<1時,S為六邊形;
⑤當CQ=1時,S的面積為.

Answer 1

①②③⑤

利用平面的基本性質結合特殊四邊形的判定與性質求解.
①當0<CQ<時,如圖(1).
在平面AA₁D₁D內,作AE∥PQ,
顯然E在棱DD₁上,連接EQ,
則S是四邊形APQE.

②當CQ=時,如圖(2).
顯然PQ∥BC₁∥AD₁,連接D₁Q,
則S是等腰梯形.
③當CQ=時,如圖(3).
作BF∥PQ交CC₁的延長線于點F,則C₁F=.
作AE∥BF,交DD₁的延長線于點E,D₁E=,AE∥PQ,
連接EQ交C₁D₁于點R,由于Rt△RC₁Q∽Rt△RD₁E,
∴C₁Q∶D₁E=C₁R∶RD₁=1∶2,
∴C₁R=.

④當<CQ<1時,如圖(3),連接RM(點M為AE與A₁D₁交點),顯然S為五邊形APQRM.
⑤當CQ=1時,如圖(4).
同③可作AE∥PQ交DD₁的延長線于點E,交A₁D₁于點M,顯然點M為A₁D₁的中點,所以S為菱形APQM,其面積為MP×AQ=××=.