Question

【題目】設函數f（x）=（x+a）lnx，g（x）= ，已知曲線y=f（x）在x=1處的切線過點（2，3）．
（1）求實數a的值．
（2）是否存在自然數k，使得函數y=f（x）﹣g（x）在（k，k+1）內存在唯一的零點？如果存在，求出k；如果不存在，請說明理由．
（3）設函數h（x）=min{f（x），g（x）}，（其中min{p，q}表示p，q中的較小值），對于實數m，x0∈（0，+∞），使得h（x0）≥m成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=（x+a）lnx，得f′（x）=lnx+ ，

則f'（1）=a+1，f（1）=0，

∴f（x）在x=1處的切線方程為y=（1+a）（x﹣1），代入（2，3），得3=1+a，即a=2

（2）解：存在k=1符合題意，證明如下：

令 ，

當x∈（0，1]時，φ（x）＜0，φ（2）= ＞ ，

∴φ（1）φ（2）＜0．

可得x0∈（1，2），使得φ（x0）=0，

φ′（x）=lnx+ + ，

當x∈（1，2）時，φ′（x）＞1+ ＞0；

當x∈[2，+∞）時，φ′（x）=lnx+ + ＞0．

即x∈（1，+∞）時，φ′（x）＞0．

φ（x）在（1，+∞）上單調遞增．

可得φ（x）=0在（1，2）有唯一實根．

∴存在k=1使得函數y=f（x）﹣g（x）在（k，k+1）內存在唯一的零點

（3）解：x0∈（0，+∞），使得h（x0）≥m成立，則m≤hmax（x）．

由（2）知，函數y=f（x）﹣g（x）在（k，k+1）內存在唯一的零點x0 ．

當x∈（0，x0）時，f（x）＜g（x），x∈（x0，+∞）時，f（x）＞g（x），

∴h（x）= ，

當x∈（0，x0]時，若x∈（0，1]，h（x）=f（x）≤0，

若x∈（1，x0]，h′（x）=lnx+ ＞0，h（x）在（1，x0]上單調遞增，

∴0＜h（x）≤h（x0），

當x∈（x0，+∞）時，h′（x）= ，

可得x∈（x0，2）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，x∈（2，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減．

∴x∈（x0，+∞）時，h（x）≤h（2）= ，且h（x0）＜h（2）．

可得 ．

∴ 時，x0∈（0，+∞），使得h（x0）≥m成立

【解析】（1）利用導數求出函數f（x）在x=1處的切線方程，把點（2，3）代入切線方程即可求得實數a的值；（2）構造函數 ，利用導數判斷x∈（1，+∞）時，φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上單調遞增．結合φ（1）φ（2）＜0，可得x0∈（1，2），使得φ（x0）=0，從而求得k值；（3）由題意寫出分段函數h（x），然后利用導數分類求出函數的最大值，得到h（x）在（0，+∞）上的最大值，即可求得滿足條件的實數m的取值范圍．