Question

已知圓C1：(x-2)2+(y-1)2=

20

3

，橢圓C2：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，若C₂的離心率為

2

2

，如果C₁與C₂相交于A，B兩點，且線段AB恰為圓C₁的直徑，
（I）設P為圓C₁上的一點，求三角形△ABP的最大面積；
（II）求直線AB與橢圓C₂的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設圓的半徑為r，易知點P到直線AB的最大距離為半徑限度r，|AB|=2r，面積的最大值為S=

1

2

|AB|•r，代入可求
（Ⅱ）由e=

2

2

，可得得a²=2b²，于是橢圓C₂的方程為x²+2y²=2b²．設直線AB的方程為y-1=k（x-2）．聯(lián)立方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關系及AB的中點橫坐標為2可求K，代入弦長公式AB=

(1+k2)(x1-x2)2

可求直線AB的方程及b的值，進而可求橢圓方程

解答：解：（Ⅰ）設圓的半徑為r，易知點P到直線AB的最大距離為半徑限度r，|AB|=2r
故面積的最大值為SMAX=0.5|AB|r=r2=

20

3

（Ⅱ）由e=

2

2

=

c

a

=

a2-b2 a2

，得a²=2b²，
于是橢圓C₂的方程為x²+2y²=2b²．
設直線AB的方程為y-1=k（x-2）．
由

y-1=k(x-2) x2+2y2=2b2

得（1+2k²）x²+4k（1-2k）x+2（2k-1）²-2b²=0，
再設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x1+x2

2

=2，即

-4k(1-2k)

2(1+2k2)

=2，得k=-1．
因此直線AB的方程為y=-x+3．此時，①式即為3x²-12x+18-2b²=0，
那么|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

2

•

19-4× 18-2b2 3

=2

20 3

．
從而b²=8，橢圓方程為x²+2y²=16，故所求的直線與橢圓方程分別為y=-x+3與x²+2y²=16．

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交的應用，解題中要注意方程根與系數(shù)的應用，體會方程的思想在解題中的應用．