Question

【題目】已知常數a＞0，函數f（x）=ln（1+ax）﹣ ．
（Ⅰ）討論f（x）在區間（0，+∞）上的單調性；
（Ⅱ）若f（x）存在兩個極值點x1 ， x2 ， 且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣ ． ∴f′（x）= = ，
∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴當1﹣a≤0時，即a≥1時，f′（x）≥0恒成立，則函數f（x）在（0，+∞）單調遞增，
當0＜a≤1時，由f′（x）=0得x=± ，則函數f（x）在（0， ）單調遞減，在（ ，+∞）單調遞增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a≥1時，f′（x）≥0，此時f（x）不存在極值點．
因此要使f（x）存在兩個極值點x1 ， x2 ， 則必有0＜a＜1，又f（x）的極值點值可能是x1= ，x2=﹣ ，
且由f（x）的定義域可知x＞﹣ 且x≠﹣2，
∴﹣ ＞﹣ 且﹣ ≠﹣2，解得a≠ ，則x1 ， x2分別為函數f（x）的極小值點和極大值點，
∴f（x1）+f（x2）=ln[1+ax1]﹣ +ln（1+ax2）﹣ =ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]﹣
=ln（2a﹣1）2﹣ =ln（2a﹣1）2+ ﹣2．
令2a﹣1=x，由0＜a＜1且a≠ 得，
當0＜a＜ 時，﹣1＜x＜0；當 ＜a＜1時，0＜x＜1．
令g（x）=lnx2+ ﹣2．
（i）當﹣1＜x＜0時，g（x）=2ln（﹣x）+ ﹣2，∴g′（x）= ﹣ = ＜0，
故g（x）在（﹣1，0）上單調遞減，g（x）＜g（﹣1）=﹣4＜0，
∴當0＜a＜ 時，f（x1）+f（x2）＜0；
（ii）當0＜x＜1．g（x）=2lnx+ ﹣2，g′（x）= ﹣ = ＜0，
故g（x）在（0，1）上單調遞減，g（x）＞g（1）=0，
∴當 ＜a＜1時，f（x1）+f（x2）＞0；
綜上所述，a的取值范圍是（ ，1）
【解析】（Ⅰ）利用導數判斷函數的單調性，注意對a分類討論；（Ⅱ）利用導數判斷函數的極值，注意a的討論及利用換元法轉化為求函數最值問題解決．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；極值反映的是函數在某一點附近的大小情況．