Question

若函數(shù)f（x）同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有f（-x）+f（x）=0；②對于定義域上的任意x₁，x₂，當(dāng)x₁≠x₂時，恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，則稱函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”，給出下列四個函數(shù)中：
①f（x）=2x
②f（x）=-

1

x

③f（x）=log2x2
④f（x）=

ex-1

ex+1

⑤f（x）=

-x2(x＜0) x2(x≥0)

能被稱為“理想函數(shù)”的有

①④⑤

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知中“理想函數(shù)”中條件①等價于函數(shù)為奇函數(shù)；條件②等價于函數(shù)在R上為增函數(shù)；逐一判斷五個函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，可得答案．

解答：解：若條件①成立，則函數(shù)為奇函數(shù)；若條件②成立，則函數(shù)在R上為增函數(shù)；
①中函數(shù)f（x）=2x即是奇函數(shù)，又在R上為增函數(shù)，故①是“理想函數(shù)”；
②中函數(shù)f（x）=-

1

x

是奇函數(shù)，但在R上不是增函數(shù)，故②不是“理想函數(shù)”；
③中函數(shù)f（x）=log2x2是偶函數(shù)，且在R上不是增函數(shù)，故③不是“理想函數(shù)”；
④中函數(shù)f（x）=

ex-1

ex+1

是奇函數(shù)，又在R上為增函數(shù)，故④是“理想函數(shù)”；
⑤中函數(shù)f（x）=

-x2(x＜0) x2(x≥0)

是奇函數(shù)，又在R上為增函數(shù)，故⑤是“理想函數(shù)”；
故五個函數(shù)中①④⑤為“理想函數(shù)”；
故答案為：①④⑤

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，熟練掌握各種初等基本函數(shù)單調(diào)性和奇偶性是解答的關(guān)鍵．