Question

【題目】已知函數f（x）=aln（x+1）﹣x2 ， 在（1，2）內任取兩個實數x1 ， x2（x1≠x2），若不等式 ＞1恒成立，則實數a的取值范圍為（ ）
A.（28，+∞）
B.[15，+∞）
C.[28，+∞）
D.（15，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：因實數x1 ， x2在區間（1，2）內，
故x1+1 和x2+1在區間（2，3）內．
不等式 ＞1恒成立，
即為 ＞0，
即有函數y=f（x）﹣x在（2，3）內遞增．
函數y=f（x）﹣x=aln（x+1）﹣x2﹣x的導數為y′= ﹣2x﹣1，
即有y′≥0在（2，3）恒成立．
即a≥（2x+1）（x+1）在（2，3）內恒成立．
由于二次函數y=2x2+3x+1在[2，3]上是單調增函數，
故x=3時，y=2x2+3x+1 在[2，3]上取最大值為28，即有a≥28，
所以答案是[28，+∞）．
故選：C．