Question

（本題滿分14分）
在數列中，已知．
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和

Answer 1

（1）
（2）

解：（1）解法1：由
可得，------------------3分
∴數列是首項為，公差為1等差數列，
∴， ---------------------------------------------------6分
∴數列的通項公式為------------------------7分
解法2：由
可得------------------------------------------------2分
令，則---------------------------------------3分
∴當時
--5分

∴
-----------------------------------------------------------6分
∴------------------------------------------------7分
解法3：∵，--------------------------------1分
，---------------------------------2分
．------------------------3分
由此可猜想出數列的通項公式為------------4分
以下用數學歸納法證明．
①當時，，等式成立．
②假設當（）時等式成立，即，
那么
．----------------------------------------6分
這就是說，當時等式也成立．根據①和②可知，
等式對任何都成立．------------------------7分
（2）令，----------①---------8分
　　------------②------9分
①式減去②式得：
，----------10分
∴．-------------12分
∴數列的前項和
． ---14分