Question

已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在s軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，=λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

（Ⅰ）橢圓C的方程為；（Ⅱ）點(diǎn)M的軌跡方程為，其中．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在軸上的橢圓．

解析試題分析：（Ⅰ）由已知可設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為，于是得由此可解得，進(jìn)而可寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）首先設(shè)，其中．由已知及點(diǎn)在橢圓上可得，整理得．注意到，令，得．需按及討論．在的情形下，點(diǎn)M的軌跡為橢圓，這時(shí)需要注意是否要加上限制條件．
試題解析：(Ⅰ)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．     （5分）
（Ⅱ）設(shè)，其中．由已知及點(diǎn)在橢圓上可得．
整理得，其中．                   （7分）
（i）時(shí)，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段．                                            （9分）
（ii）時(shí)，方程變形為，其中，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分； （11分）
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；  （13分）
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在軸上的橢圓．                          （15分）
考點(diǎn)：1．橢圓方程的求法；2．軌跡方程的求法．