Question

【題目】已知函數f(x)=x2+(x2-3x)lnx

（1）求函數f(x)在x=e處的切線方程

（2）對任意的x)都存在正實數a，使得方程f(x)=a至少有2個實根, 求a的最小值

Answer 1

【答案】（1）(5e-6)x-y-3e2+3e=0（2）1

【解析】分析：（1）求出,由的值可得切點坐標，由的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）首先可得是方程的根，只需方程另外至少一個根即可，利用導數研究函數的單調性，結合函數圖象，可得函數的極值與最值，從而可得的最大值.

詳解：(1)f/(x)=3x-3+(2x-3)lnx k=f/(e)=5e-6切點為：(e,2-3e)

切線方程為： y-2+3e=(5e-6)(x-e) (5e-6)x-y-3+3e=0

（2）令f/(x)=0 即3x-3+(2x-3)lnx=0 顯然x=1是方程的根

而f//(x)=2lnx 易知f//(x)在（0，）上遞增，容易驗證f//()=3-3e f//(1), 存在x1使得f//(x1)=0

所以當x1)時，f//(x)， f/(x)遞減，

當x1，時，f//(x)， f/(x)遞增

且f/(x1)/(1)=0，又f()=，故存在x2x1)使得f/(x2) =0，列出下表：

x	(0,x2)	x2	(x2,1)	1	(1,)
f/(x)	+	0	-	0	+
f(x)	增	極大值	減	極小值	增

所以f(x)在x=x2處取極大值；在處取得極小值.因f(1)=1；x0時f(x)

作出f(x)的示意圖可知： a的最小值為1