Question

從數列中抽出一些項，依原來的順序組成的新數列叫數列的一個子列.
（1）寫出數列的一個是等比數列的子列；
（2）設是無窮等比數列，首項，公比為.求證：當時，數列不存在
是無窮等差數列的子列.

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查等差數列、等比數列的定義、通項公式及其性質等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、邏輯推理能力.第一問，在數列的所有項中任意抽取幾項，令其構成等比數列即可，但是至少抽取3項；第二問，分2種情況進行討論：和，利用數列的單調性，先假設存在，在推導過程中找出矛盾即可.
試題解析：（1）（若只寫出2,8,32三項也給滿分）.           4分
（2）證明：假設能抽出一個子列為無窮等差數列，設為，通項公式為.因為
所以.
（1）當時，∈（0，1]，且數列是遞減數列，
所以也為遞減數列且∈（0，1]，,
令，得，
即存在使得，這與∈（0，1]矛盾.
（2）當時，≥1，數列是遞增數列，
所以也為遞增數列且≥1，.
因為d為正的常數，且，
所以存在正整數m使得.
令，則，
因為=，
所以，即，但這與矛盾，說明假設不成立.
綜上，所以數列不存在是無窮等差數列的子列.            13分