Question

【題目】求函數f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域________．

Answer 1

【答案】[﹣1， + ]
【解析】解：令t=sinx+cosx= sin（x+ ），
則﹣ ≤t≤ ，t2=1+2sinxcosx，
則sinxcosx= ，
則f（x）=sinx+cosx+sinxcosx
=t+ = （t2+2t﹣1）
= （t+1）2﹣1；
∵﹣ ≤t≤ ，
∴﹣1≤ （t+1）2﹣1≤ + ；
故函數f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域為[﹣1， + ]．
【考點精析】掌握函數的值域和三角函數的最值是解答本題的根本，需要知道求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，．