Question

已知長方體ABCD-A′B′C′D′，AB=2，AA′=1，直線BD與平面AA′B′B所成角為30°，E為A′B′的中點．
（1）求異面直線AC與BE所成的角；
（2）求A點到平面BDE的距離．

Answer 1

分析：（1）取C′D′在中點O，連接EO，OC，AC，則∠OCA（或其補角）為異面直線AC與BE所成的角，利用余弦定理可求；
（2）利用V_A-BDE=V_D-ABE，可求A點到平面BDE的距離．

解答：解：（1）如圖，取C′D′在中點O，連接EO，OC，AC，
∵E為A′B′的中點，
∴四邊形EOCB是平行四邊形
∴EB∥OC
∴∠OCA（或其補角）為異面直線AC與BE所成的角
∵DA⊥平面AA′B′B，直線BD與平面AA′B′B所成角為30°，
∴∠DBA=30°
∵AB=2，∴AD=

2 3

3

，DB=

4 3

3

△AOC中，OC=

2

，AC=

4 3

3

，AO=

3

∴cos∠OCA=

( 4 3 3 )2+2-3

2• 4 3 3 • 2

=

13 6

48

∴∠COA=arccos

13 6

48

；
（2）設A點到平面BDE的距離為h，則
在△BDE中，BE=

2

，DB=

4 3

3

，DE=

10 3

∴DB²=BE²+DE²
∴S_△BDE=

1

2

×

2

×

10 3

=

60

6

∵S△AEB=

1

2

×2×1=1，V_A-BDE=V_D-ABE
∴

1

3

×

60

6

×h=

1

3

×1×

2 3

3

∴h=

2 5

5

．

點評：本題考查異面直線所成角，考查點到面的距離的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．