Question

定義:若數(shù)列{A_n}滿足A_n+1=,則稱數(shù)列{A_n}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{a_n}中,a₁=2,點(a_n,a_n+1)在函數(shù)f(x)=2x²+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)證明:數(shù)列{2a_n+1}是 “平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2a_n+1)}為等比數(shù)列.
(2)設(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為T_n,即T_n=(2a₁+1)(2a₂+1)…(2a_n+1),求數(shù)列{a_n}的通項公式及T_n關于n的表達式.

Answer 1

(1)見解析  (2) a_n=(-1).   T_n=

(1)由條件得:a_n+1=2+2a_n,
∴2a_n+1+1=4+4a_n+1=(2a_n+1)²,
∴{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”.
∵lg(2a_n+1+1)=2lg(2a_n+1),
∴=2,∴{lg(2a_n+1)}為等比數(shù)列.
(2)∵lg(2a₁+1)=lg5,
∴l(xiāng)g(2a_n+1)=lg5·2^n-1,
∴2a_n+1=,∴a_n=(-1).
∵lgT_n=lg(2a₁+1)+lg(2a₂+1)+…+lg(2a_n+1)
==(2ⁿ-1)lg5,
∴T_n=.