Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定義域和值域均是[1，a]，求實數a的值；
（2）若對任意的x1 ， x2∈[1，a+1]，總有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=（x﹣a）2+5﹣a2（a＞1），

∴f（x）在[1，a]上是減函數，又定義域和值域均為[1，a]，

∴ ，

即 ，解得a=2

（2）解：若a≥2，又x=a∈[1，a+1]，且，（a+1）﹣a≤a﹣1

∴f（x）max=f（1）=6﹣2a，f（x）min=f（a）=5﹣a2．

∵對任意的x1，x2∈[1，a+1]，總有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，

∴f（x）max﹣f（x）min≤4，即（6﹣2a）﹣（5﹣a2）≤4，解得﹣1≤a≤3，

又a≥2，∴2≤a≤3．

若1＜a＜2，fmax（x）=f（a+1）=6﹣a2，f（x）min=f（a）=5﹣a2，

f（x）max﹣f（x）min≤4顯然成立，綜上1＜a≤3

【解析】（1）先將函數進行配方得到對稱軸，判定出函數f（x）在[1，a]上的單調性，然后根據定義域和值域均為[1，a]建立方程組，解之即可；（2）將a與2進行比較，將條件“對任意的x1 ， x2∈[1，a+1]，總有|f（x1）﹣f（x2）|≤4”轉化成對任意的x1 ， x2∈[1，a+1]，總有f（x）max﹣f（x）min≤4恒成立即可．
【考點精析】利用函數的定義域及其求法和函數的值域對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的．