Question

【題目】已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的動直線與雙曲線相交于兩點.在軸上是否存在定點，使為常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】存在，．

【解析】

假設在軸上存在定點，使為常數，當不與軸垂直時，設出直線的方程，然后與雙曲線方程聯立消去得到關于的一元二次方程，進而可得到兩根之和與兩根之積，表示出向量并將所求的兩根之和與兩根之積代入整理即可求出的坐標；當與軸垂直時可直接得到，的坐標，再由，可確定答案．

解：由條件知，

設點的坐標分別為，

假設在軸上存在定點，使為常數，

當不與軸垂直時，設直線的方程是，

代入，得，

，

∴

，

∵是與無關的常數，

∴，即，此時；

當與軸垂直時，點的坐標可分別設為，

此時；

故在軸上存在定點，使為常數．