Question

如圖，點A、B分別是橢圓

x2

36

+

y2

20

=1的長軸的左、右端點，F為橢圓的右焦點，直線PF的方程為

3

x+y-3

2

=0，且PA⊥PF．
（Ⅰ）求直線PA的方程；
（Ⅱ）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．

Answer 1

（I）由題設知A（-6，0），B（6，0），直線AP的斜率為

3

3

，…（2分）
直線AP的方程為y=

3

3

(x+6)，即x-

3

y+6=0．…（4分）
（Ⅱ）設M（m，0）（-6≤m≤6），…（5分）
由于M到直線AP的距離等于MB，

|m+6|

1+( 3 )2

=|m-6|．…（6分）
∵-6≤m≤6，∴

m+6

2

=6-m解得m=2，
M的坐標為（2，0）．…（8分）
設P（x，y）是橢圓上任意一點，則

x2

36

+

y2

20

=1．
d=

(x-2)2+y2

=

4 9 x2-4x+24

當x=

9

2

時d 有最小值

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