Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 是的中點(diǎn)，底面為矩形， ， ， ，且平面平面，平面與棱交于點(diǎn)，平面與平面交于直線.

（1）求證： ；

（2）求與平面所成角的正弦值為，求的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) .

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合面面平行的判斷定理可證得平面平面，結(jié)合面面平行的性質(zhì)可得.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合直線的方向向量和平面的法向量可得的余弦值是.

試題解析：

（1）矩形中，

∵面， 平面，

∴平面，

又平面，

平面平面，∴，

又平面平面，∴

∴.

（2）取中點(diǎn)，連接，∵，∴，

又平面平面，且平面平面，

∴平面，連接，則為在平面內(nèi)的射影，

∴為與平面所成角，∴.

∴，由題，∴

取中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 ， 的方向分別為， ， 軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則： ， ， ， ，則， ，

設(shè)平面的法向量為，于是，∴，令，則，

∴平面的一個(gè)法向量

同理平面的一個(gè)法向量為，

∴.

可知二面角為鈍二面角

所以二面角的余弦值為