Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若，設，若對任意，

恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞增; 當時, 在上單調遞增，在上單調遞減; 當時， 在上單調遞減，在上單調遞增；

（2）.

【解析】

試題分析：（1）求函數的導數，分三種情況，分別討論的符號，即可得到函數的單調性；

（2），因為，當時，，在單調減；，當時，，在單調減.所以對任意，恒成立等價于對任意恒成立,構造函數,則對任意恒成立,即求函數單調遞減即可，求函數導數，由在上恒成立求的值即可.

試題解析：

（1）,令，

1.當時，，所以在上單調遞增。

2．當時，令，，

所以在上單調遞增，在上單調遞減。

3.當時，令，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增。

（2），因為，當時，，在單調減；

，當時，，在單調減.

因為對任意，，

不防設，則由兩函數的單調性可得：

，

所以：對任意恒成立；

令，

則對任意恒成立；

即：在上單調減，

即：在上恒成立，

令，，

當時，在恒成立，所以，在單調減，

所以,滿足題意。

當時，有兩個極值點且，

所以在上，單調增，即：對任意上恒成立，不滿足題意，舍！

綜上所述：當時.不等式在恒成立.1