Question

問題1：已知函數f(x)=

x

1+x

，則f(

1

10

)+f(

1

9

)+…+f(

1

2

)+f(1)+f(2)+…+f（9）+f（10）=

19

2

．
我們若把每一個函數值計算出，再求和，對函數值個數較少時是常用方法，但函數值個數較多時，運算就較繁鎖．觀察和式，我們發現f(

1

2

)+f(2)、…、f(

1

9

)+f(9)、f(

1

10

)+f(10)可一般表示為f(

1

x

)+f(x)=

1 x

1+ 1 x

+

x

1+x

=

1

1+x

+

x

1+x

=

1+x

1+x

=1為定值，有此規律從而很方便求和，請求出上述結果，并用此方法求解下面問題：
問題2：已知函數f(x)=

1

2x+ 2

，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．

Answer 1

分析：問題1：根據f(

1

x

)+f(x)=

1 x

1+ 1 x

+

x

1+x

=

1

1+x

+

x

1+x

=

1+x

1+x

=1為定值，從而所求式子分組求和可求；
問題2：先研究f(x)+f(1-x)=

2

2

，再分組求和可求．

解答：解：問題1：∵f(

1

x

)+f(x)=

1 x

1+ 1 x

+

x

1+x

=

1

1+x

+

x

1+x

=

1+x

1+x

=1
∴f(

1

10

)+f(

1

9

)+…+f(

1

2

)+f(1)+f(2)+…+f（9）+f（10）=9+

1

2

=

19

2

（4分）
問題2：f(x)+f(1-x)=

1

2x+ 2

+

1

21-x+ 2

=

2

2 (2x+ 2 )

+

2x

2+ 2 •2x

=

1

2

=

2

2

（10分）
f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）
=1004

2

（14分）

點評：本題的考點是類比推理，關鍵是理解問題1，發現解決問題的規律，從而得解．