Question

（2006•浦東新區模擬）（1）已知函數f（x）=a^x-x（a＞1）．
①若f（3）＜0，試求a的取值范圍；
②寫出一組數a，x₀（x₀≠3，保留4位有效數字），使得f（x₀）＜0成立；
（2）若曲線y=x+

p

x

（p≠0）上存在兩個不同點關于直線y=x對稱，求實數p的取值范圍；
（3）當0＜a＜1時，就函數y=a^x與y=log_ax的圖象的交點情況提出你的問題，并加以解決．（說明：①函數f（x）=xlnx有如下性質：在區間(0，

1

e

]上單調遞減，在區間[

1

e

，1)上單調遞增．解題過程中可以利用；②將根據提出和解決問題的不同層次區別給分．）

Answer 1

分析：（1）①根據f（3）＜0，a＞1構造不等式組，解不等式組，可得a的取值范圍；
②由①中結論，可得a取（1，1.445）中的任意值都可以，進而給出合適的x₀，即可得到答案．
（2）設曲線y=x+

p

x

上兩個對稱點為（m，n），（n，m），可得p=-2m²，進而得到實數p的取值范圍；
（3）提出的問題是：當a∈（0，e^-e）時，函數y=a^x與y=log_ax的圖象有3個交點；當a∈[e^-e，1）時，函數y=a^x與y=log_ax的圖象有1個交點，進而根據（1）（2）的結論可進行推導論證．

解答：解：（1）①

f(3)＜0 a＞1

⇒

a3-3＜0 a＞1

⇒1＜a＜

3	3

…（4分）
②當a=1.1，x₀=2時，f（x₀）＜0成立
注：a取（1，1.445）中的任意值都可以，相應的x₀均給分…（6分）
（2）設曲線y=x+

p

x

上兩個對稱點為（m，n），（n，m），
于是

m+ p m =n n+ p n =m

…（9分）
m+

p

m

+

p

m+ p m

=m(p≠0)⇒p=-2m2…（11分）
所以p＜0；…（12分）
（3）提出的問題是：當a∈（0，e^-e）時，函數y=a^x與y=log_ax的圖象有3個交點；當a∈[e^-e，1）時，函數y=a^x與y=log_ax的圖象有1個交點．…（14分）
問題解決如下：顯然，當0＜a＜1時，函數y=a^x與y=log_ax的圖象在直線y=x上有一個交點．…（15分）
若曲線y=a^x上有兩個點（m，n），（n，m）關于直線y=x對稱，則

n=am m=an

⇒a=n

1

m

=m

1

n

⇒lna=

1

m

lnn=

1

n

lnm⇒mnlna=nlnn=mlnm，
即m，n是函數y=xlnx（0＜x＜1）與直線y=c（c為常數）的交點的橫坐標．
因為函數f（x）=xlnx有如下性質：在區間(0，

1

e

]上單調遞減，在區間[

1

e

，1)上單調遞增．
于是x=

1

e

時f（x）=xlnx取得最小值-

1

e

，即-

1

e

≤xlnx＜0，由其圖象可得到，當c∈(-

1

e

，0)時，m，n成對出現，且

1

m

lnn=

1

n

lnm∈(-∞，-e)．…（18分）
當lna＜-e，即a∈（0，e^-e）時，點（m，n），（n，m）存在，即函數y=a^x與y=log_ax的圖象有3個交點；
當lna≥-e，即a∈[e^-e，1）時，點（m，n），（n，m）不存在，函數y=a^x與y=log_ax的圖象只有1個交點．…（20分）

點評：本題考查的知識點是指數函數的圖象和性質，對數函數的圖象和性質，反函數，具有相當的主觀性，難度也比較大．