Question

【題目】已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，拋物線的動弦過點，過點且垂直于弦的直線交拋物線的準線于點.

（Ⅰ）求拋物線的標準方程；

（Ⅱ）求的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)2

【解析】

（Ⅰ）由橢圓求得右焦點，根據拋物線的焦點求出p的值，再寫出拋物線C的標準方程；

（Ⅱ）①當動弦AB所在的直線斜率不存在時，求得2；②當動弦AB所在的直線斜率存在時，寫出AB所在直線方程，與拋物線方程聯立求出弦長|AB|；寫出FM所在的直線方程，與拋物線方程聯立求出弦長|MF|，再求的最小值，從而得出結論．

（Ⅰ）由橢圓方程得，橢圓的右焦點為

∴拋物線的焦點為，∴，拋物線的標準方程為.

（Ⅱ）①當動弦所在直線的斜率不存在時，易得：

，，.

②當動弦所在的直線斜率存在時，易知，的斜率不為0.

設所在直線方程為，且，.

聯立方程組：，得；

，，，

所在的直線方程為，聯立方程組：，得點，

∴

∴，

綜上所述：的最小值為2.