Question

如圖：設一正方形紙片ABCD邊長為m，從此紙片中裁剪出一個正方形和四個全等的等腰三角形，恰好能做成一個正四棱錐（粘接損耗不計），圖中AH⊥PQ，O為正四棱錐底的中心
（1）若正四棱錐的棱長都相等，求這個正四棱錐的體積V；
（2）設等腰三角形底角為x，試把正四棱錐側面積S表示為x的函數，并求S的范圍．

Answer 1

分析：（1）先設正四棱錐底面邊長為y，由條件知為△APQ等邊三角形，又AH⊥PQ，AH=

3

2

y，∴OA=

AH2-OH2

=

2

2

y，再由2AH+y=AC得y=

2 m

3 +1

∴根據體積公式求解．
（2）按照（1）的思路：則有AH=

y

2

tanx由2AH+y=AC得y=

2 m

tanx+1

，再由側面積公式建立模型．用導數研究最值．

解答：解：（1）設正四棱錐底面邊長為y，由條件知為△APQ等邊三角形，又AH⊥PQ，
∴AH=

3

2

y，
∵OH=

y

2

∴OA=

AH2-OH2

=

2

2

y
由2AH+y=AC得y=

2 m

3 +1

∴V=

1

3

y2•OA=

2m3

3( 3 +1)3

（2）設正四棱錐的底面邊長為y
則AH=

y

2

tanx由2AH+y=AC得y=

2 m

tanx+1

，
∴S=

1

2

•4y•AH=

2m2tanx

(1+tanx)2

即為所求表達式，
∵

π

4

＜x ＜

π

2

∴tanx＞1
令t=tanx則S=

2m2t

(1+t)2

由S′= 2m2

-t2+1

(1+t)4

＜0，t∈(1，+∞)恒成立知
函數在（1，+∞）上為減函數．
∴0＜s＜

m2

2

即為所求的范圍．

點評：本題主要考查通過空間幾何體的結構特征，來考查如何尋求各邊之間量的關系及求幾何體的體積和表面積問題．