Question

【題目】已知.

（Ⅰ）當時，若關于的方程有且只有兩個不同的實根，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）對任意時，不等式恒成立，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)1.

【解析】試題分析：

(Ⅰ) 當時， ，結合圖象可得若方程有且只有兩個不同的實根，只需即可．（Ⅱ）由題意得只需滿足即可，根據函數圖象的對稱軸與區間的關系及拋物線的開口方向求得函數的最值，然后解不等式可得所求．

試題解析：

（Ⅰ）當時， ，

∵關于的方程有且只有兩個不同的實根，

∴，

∴.

∴實數的取值范圍為．

（Ⅱ）①當 ，即時，函數在區間上單調遞增，

∵不等式恒成立，

∴ ，可得，

∴

解得，與矛盾，不合題意．

②當，即時，函數在區間上單調遞減，

∵不等式恒成立，

∴，可得

∴

解得，這與矛盾，不合題意．

③當，即時，

∵不等式恒成立，

∴，整理得 ，

即，即，

∴ ，解得.

當時，則，故.

∴.

綜上可得．