Question

如圖，已知正方體的棱長為2，E、F分別是、的中點(diǎn)，過、E、F作平面交于G．
(l)求證：EG∥；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求正方體被平面所截得的幾何體的體積．

Answer 1

(1)詳見試題解析(2) (3)

解析試題分析：（1）兩平行平面都與第三個(gè)平面相交，則交線平行；
（2）以為原點(diǎn)分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量為，求出平面的法向量，利用空間向量的夾角公式求二面角的余弦值．
（3）所求幾何體是由正方體截去一個(gè)三棱臺(tái)而得到， 所以，．
（1）證明：在正方體中，因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/10/c/agff5.png" style="vertical-align:middle;" />平面,
平面平面平面平面

（2）解：如圖，以為原點(diǎn)分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則有

設(shè)平面的法向量為則由和得
取得
又平面的法向量為
故
所以截面與底面所成二面角的余弦值為
（3）解：設(shè)所截幾何體的體積為
與相似，



故

考點(diǎn)：1、平面與平面平行的性質(zhì)；2、空間直角坐標(biāo)系；3、向量夾角公式；4、組合體的體積．