Question

【題目】已知圓，圓．

（Ⅰ）試判斷圓與圓的位置關系；

（Ⅱ）在直線上是否存在不同于的一點，使得對于圓上任意一點都有為同一常數．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）相交；（II）．

【解析】分析：（Ⅰ）根據幾何法和代數法兩種方法可判斷兩圓的位置關系．（Ⅱ）假設存在滿足條件的點和，根據為常數得到關于的方程，將此方程與圓的方程比較可得所求結果．

詳解：（Ⅰ）由題意得圓的標準方程為，

的標準方程為．

∴兩圓的圓心距為，

又兩圓的半徑之差,兩圓的半徑之和 ，

∴ ，

∴兩圓相交．

解法二:由，

解得，

所以兩圓有兩個公共點，

所以兩圓相交．

（Ⅱ）由題意得直線的方程為．

假設直線上存在不同于的一點滿足條件，設,，

則由題意得，

化簡得，

顯然上式與圓的方程為同一方程，

則

解得或（不合題意，舍去）．

所以所求的點的坐標為．