Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1 ， ∠BAA1=60°．
（Ⅰ）證明AB⊥A1C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1 ， A1B，
因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C⊥AB，由于AB=AA1 ， ∠BAA1=60°，
所以△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB，
又因?yàn)镺C∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，
又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，
所以O(shè)C⊥平面AA1B1B，故OA，OA1 ， OC兩兩垂直．
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，||為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），
則=（1，0，），==（﹣1，，0），=（0，﹣，），
設(shè)=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，即，
可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==-，
又因?yàn)橹本�與法向量的余弦值的絕對(duì)值等于直線與平面的正弦值，
故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為：．

【解析】（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OAspan>1 ， A1B，由已知可證OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，進(jìn)而可得AB⊥A1C；
（Ⅱ）易證OA，OA1 ， OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，||為單位長(zhǎng)，建立坐標(biāo)系，可得 ， ， 的坐標(biāo)，設(shè)=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則 ， 可解得=（ ， 1，﹣1），可求|cos＜ ， ＞|，即為所求正弦值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的性質(zhì)，需要了解垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行才能得出正確答案．