Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD= ，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；
（3）線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為 ？若存在，求出 的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△PAD卡中PA=PD，O為AD中點，所以PO⊥AD．

又側面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD．

（2）解：連接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD=BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，

所以OB∥DC．

由（1）知PO⊥OB，∠PBO為銳角，

所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角．

因為AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以OB= ，

在Rt△POA中，因為AP= ，AO=1，所以OP=1，

在Rt△PBO中，PB= ，所以cos∠PBO= ，

所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為 ．

（3）解：假設存在點Q，使得它到平面PCD的距離為 ．

設QD=x，則S△DQC= x，由（2）得CD=OB= ，

在Rt△POC中，PC= ，

所以PC=CD=DP，S△PCD= = ，

由Vp﹣DQC=VQ﹣PCD，得x= ，所以存在點Q滿足題意，此時 = ．

【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可知，只需證直線PO垂直平面ABCD中的兩條相交直線垂直即可；（2）先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點B，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；（3）利用Vp﹣DQC=VQ﹣PCD，即可得出結論．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關系；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想才能正確解答此題．