Question

【題目】設直線與函數的圖像恰有兩個不同的公共點.求出所有這樣的直線方程.

Answer 1

【答案】

【解析】

顯然，直線與函數的圖像只有一個公共點.于是，

設直線方程為.將其代入，

得. ①

方程①恰有兩個不同實根，有如下3種情形：

（1），

其中，、、、，，且.

（2），其中，、，且.

（3），其中，、，且.

對于（1），可設，

其中，，.

展開比較系數得，，，.

由前兩個方程得，，代入，，得

.

所以，.

故

則，.

直線方程為，

其中，實數、滿足.

比如，取，則；取，則，.因此，直線方程為.

此時，方程①為.

對于（2），可設，其中，.

在（1）的方程組中令，，得，，，.

解得，，，.

因此，直線方程為.

對于（3），展開比較系數得，，，.

由前兩個方程得，.解得.

注意到，，，

于是，.

此時，直線方程為.