Question

【題目】已知是一個單調遞增的等比數列，是一個等差數列，是的前項和，其中，，成等差數列，.

（1）求的通項公式；

（2）若，，既成等比數列，又成等差數列.

（i）求的通項公式；

（ii）對于數列，若且，或且，則為數列的轉折點，求的轉折點個數.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）或；（ii）3.

【解析】

（1）由題意結合等比數列的通項公式可得，解出即可得解；

（2）（i）由題意得，則，解方程組即可得解；

（ii）由題意，由題意列出不等式組，解出不等式組即可得解.

（1）設數列的公比為q，

由題意即，

解得，

所以；

（2）（i），，既成等比數列，又成等差數列，

，

設公差為d，

則解得或，

或；

（ii）當時，，

，

設滿足，

則，

解得，

當時，，

，與第一種情況相同；

設滿足，

則，

解得；

綜上，的轉折點個數為3，分別為2，3，9.