Question

（2012•浙江模擬）設△ABC的三內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a、b、c成等比數列，且sinAsinC=

3

4

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若x∈[0，π），求函數f（x）=sin（x-B）+sinx的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據a、b、c成等比數列，可得b²=ac，由正弦定理得sin²B=sinAsinC，利用sinAsinC=

3

4

，可得sin2B=

3

4

，根據b不是△ABC的最大邊，即可求角B的大小；
（Ⅱ）先化簡函數，再根據x∈[0，π），可得-

π

6

≤x-

π

6

＜

5π

6

，從而可得sin(x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，故可求函數f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）因為a、b、c成等比數列，所以b²=ac，所以由正弦定理得sin²B=sinAsinC．
又sinAsinC=

3

4

，所以sin2B=

3

4

．
因為sinB＞0，則sinB=

3

2

．
因為B∈（0，π），所以B=

π

3

或

2π

3

．
又b²=ac，則b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大邊，故B=

π

3

．…（6分）
（Ⅱ）因為B=

π

3

，則f(x)=sin(x-

π

3

)+sinx=sinxcos

π

3

-cosxsin

π

3

+sinx
=

3

2

sinx-

3

2

cosx=

3

sin(x-

π

6

)．…（10分）
∵x∈[0，π），∴-

π

6

≤x-

π

6

＜

5π

6

，∴sin(x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]．
故函數f（x）的值域是[-

3

2

，

3

]．…（14分）

點評：本題考查三角函數的化簡，考查正弦定理的運用，考查三角函數的性質，正確化簡函數是關鍵．