Question

【題目】已知函數.

（1）試討論函數的單調性；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）時，在上遞減，時，時遞減，時遞增；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）判斷單調性，定義域為，只要求得導數，判斷的正負即可，此題需要按和分類討論；（2）證明此不等式的關鍵是求的最大值，由導數的知識可得最大值為，即，當時，．從而，這樣要證不等式的左邊每一項都可以放大：，并且再放大為，求和后，不等式右邊用裂項相消法可得．

試題解析：（１）由題可知，

定義域為，

所以，

若，恒成立，在單調遞減.

若，，

當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增.

（2）令，則，

設，由于，令得，

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減

所以，

所以當時，對恒成立，即，

從而，

從而得到，對依次取值可得

…，，

對上述不等式兩邊依次相加得到：

，

又因為，

而，

所以,

所以