Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點處的切線與直線垂直（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)無零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調(diào)減區(qū)間為和；（Ⅱ） 的取值范圍為： 或．

【解析】試題分析：

（Ⅰ）利用切線求出參數(shù)值為2，解不等式可得減區(qū)間；

（Ⅱ）函數(shù)無零點，即方程在內(nèi)無解，亦即要在內(nèi)無解.為此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，可得結(jié)論，注意對分類討論

試題解析：

（Ⅰ）解：，

又由題意有：，故.

此時，，由或，

所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和.

（Ⅱ）解：

，且定義域為，

要函數(shù)無零點，即要在內(nèi)無解，

亦即要在內(nèi)無解.

構(gòu)造函數(shù).

①當(dāng)時，在內(nèi)恒成立，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)也單調(diào)遞減.又，所以在內(nèi)無零點，

在內(nèi)也無零點，故滿足條件；

②當(dāng)時，

⑴若，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)也單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.又，所以在內(nèi)無零點；易知，而，故在內(nèi)有一個零點，所以不滿足條件；

⑵若，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.又，所以時，恒成立，故無零點，滿足條件；

⑶若，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)也單調(diào)遞增.又，所以在及內(nèi)均無零點.

又易知，而，又易證當(dāng)時，，所以函數(shù)在內(nèi)有一零點，故不滿足條件.

綜上可得：的取值范圍為：或.