Question

（本大題滿分13分）設函數是定義域在上的單調函數，且對于任意正數有，已知.

（1）求的值；

（2）一個各項均為正數的數列滿足：，其中是數列的前n項的和，求數列的通項公式；

（3）在（2）的條件下，是否存在正數，使 對一切成立？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）-1；

（2）；

（3）存在正數，使所給定的不等式恒成立，的取值范圍為

【解析】（1）∵，令，有，∴.

再令，有，∴，∴ …4分

（2）∵,

又∵是定義域上單調函數，∵，，

∴       ……①

當時，由，得，當時，   ……②

由①－②，得，

化簡，得　，∴，

∵，∴，即，∴數列為等差數列. ，公差.

∴，故.  ………… 8分

（3）∵，

令=,

而. 

∴=，

∴，數列為單調遞增函數，由題意恒成立，則只需=，

∴ ，存在正數，使所給定的不等式恒成立，的取值范圍為 .