Question

已知a=∫0

π

2

(sinx+cosx)dx，若（3-ax）⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₆x⁶，則|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|+|a₆|=

 

．

Answer 1

分析：利用微積分基本定理求出a的值，通過對二項式中的x賦值求出常數項，利用二項展開式的通項公式判斷出各項系數的符號，將待求的式子中的絕對值去掉，令二項式中的x取-1，求出值．

解答：解：∵a=∫0

π

2

(sinx+cosx)dx=2
∴（3-2x）⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₆x⁶①
令x=0得a₀=3⁶
∵（3-2x）⁶展開式的奇次項的系數為負，偶次項的系數為正
∴|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|+|a₆|=a₂+a₄+a₆-（a₁+a₃+a₅）
令①中x=-1得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₆=5⁶
∴a₂+a₄+a₆-（a₁+a₃+a₅）=5⁶-3⁶
故答案為5⁶-3⁶

點評：求二項展開式的系數和問題常用的方法是通過觀察給二項式中x的賦值即賦值求系數和．