Question

已知函數g(x)=

x2-2

(x≥2)的導數為g′(x)=

x

x2-2

(x≥2)，記函數f（x）=x-kg（x）（x≥2，k為常數）．
（1）若函數f（x）在區間（2，+∞）上為減函數，求k的取值范圍；
（2）求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）在區間（2，+∞）上為減函數可得到f（x₁）-f（x₂）關于x₁，x₂的關系式，然后轉化為k＞

x 2 2 -2 + x 2 1 -2

x1+x2

對x₁，x₂∈（2，+∞）恒成立的問題，即可得到k的取值．
（2）對函數f（x）進行求導，然后分兩種情況討論，當k≤0時易知函數f（x）是增函數，可直接求出值域；當k＞0時，又分三種情況k＞1、k=1、0＜k＜1根據導數的正負情況進行討論，從而可得到函數的單調性確定值域．

解答：解：（1）因為f（x）在區間（2，+∞）上為減函數，
所以對任意的x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂恒有f（x₁）-f（x₂）＞0成立．
即f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+

k(x2-x1)(x2+x1)

x 2 2 -2 + x 2 1 -2

＞0恒成立．
因為x₂-x₁＞0，所以k＞

x 2 2 -2 + x 2 1 -2

x1+x2

對x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂時，恒成立．
又

x 2 2 -2 + x 2 1 -2

x1+x2

＜1，所以k≥1．
（2）f′(x)=1-

kx

x2-2

=1-

k

1- 2 x2

(x≥2)．
下面分兩種情況討論：
（1）當k≤0時，f(x)=x-k

x2-2

是關于x的增函數，值域為[2-

2

k，  +∞)
（2）當k＞0時，又分三種情況：
①當k＞1時，因為x＞

x2-2

，所以1-

kx

x2-2

＜0，即f'（x）＜0．
所以f（x）是減函數，f(x)≤f(2)=2-

2

k．
又f(x)=x-k

x2-2

=

(1-k2)x2+2k2

x+k x2-2

=

(1-k2)x+ 2k2 x

1+k 1- 2 x2

，
當x→+∞，f（x）→-∞，所以f（x）值域為(-∞，  2-

2

k]．
②當k=1時，f(x)=x-

x2-2

=

2

x2+ x2-2

＞0，
且f（x）是減函數，故f（x）值域是(0，  2-

2

]．
③當0＜k＜1時，f'（x）是增函數，
f(2)=2-

2

k，f(x)=x-k

x2-2

=

(1-k2)x2+2k2

x+k x2-2

=

(1-k2)x+ 2k2 x

1+k 1- 2 x2

．
下面再分兩種情況：
（a）當0＜k≤

2

2

時，f'（x）=0的唯一實根x=

2 1-k2

≤2，
故f'（x）＞0（x≥2），f(x)=x-k

x2-2

是關于x的增函數，值域為[2-

2

k，  +∞)；
（b）當

2

2

＜k＜1時，f'（x）=0的唯一實根x=

2 1-k2

＞2，
當2≤x＜

2 1-k2

時，f'（x）＜0；當x＞

2 1-k2

時，f'（x）＞0；
所以f（x）≥f(

2 1-k2

)=

2(1-k2)

．故f（x）的值域為[

2(1-k2)

，  +∞)．
綜上所述，f（x）的值域為[2-

2

k，  +∞)(k≤

2

2

)；
[

2(1-k2)

，  +∞)（

2

2

＜k＜1）；(0，2-

2

]（k=1）；(-∞，  2-

2

k]（k＞1）．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系、根據導數求函數的值域．導數是高考必考點，要重視．