Question

已知函數f(x)=

x

，g（x）=x+a（a＞0）
（1）求a的值，使點M（f（x），g（x））到直線x+y-1=0的最短距離為

2

；
（2）若不等式|

f(x)-ag(x)

f(x)

|≤1在x∈[1，4]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先用點到直線的距離公式表示距離，利用換元法，進而利用二次函數的配方法即可求解；
（2）將絕對值符號化去，從而轉化為

ax+a2

x

≤2在 [ 1 ， 4 ]上恒成立，進而利用換元法轉化為at²-2t+a²≤0在t∈[1，2]上恒成立，從而得解．

解答：解：（1）由題意得M到直線的距離d=

| x +x+a-1|

2

，令t=

x

≥0
則d=

|t2+t+a-1|

2

=

|(t+ 1 2 )2+a- 5 4 |

2

∵t≥0∴a≥1時，

|(t+ 1 2 )2+a- 5 4 |

2

≥

a-1

2

即t=0時，dmin=

a-1

2

=

2

∴a=30＜a＜1時，d_min=0，不合題意
綜上a=3（6分）
（2）由|

f(x)-ag(x)

f(x)

|≤1?-1≤

f(x)-ag(x)

f(x)

≤1?0≤

ag(x)

f(x)

≤2
即

ax+a2

x

≤2在 [ 1 ， 4 ]上恒成立
也就是ax+a2≤2

x

在[1，4]上恒成立
令

x

=t≥0，且x=t²，t∈[1，2]
由題意at²-2t+a²≤0在t∈[1，2]上恒成立
設?（t）=at²-2t+a²，則要使上述條件成立，只需

?(1)=a-2+a2≤0 ?(2)=a2+4a-4≤0

⇒0＜a≤2 (

2

-1)
即滿足條件的a的取值范圍是( 0 ， 2

2

-2 ]（13分）

點評：本題以函數為載體，考查點線距離，考查恒成立問題，關鍵是掌握距離公式，熟練恒成立問題的處理策略．