Question

（2011•綿陽一模）已知函數f（x）定義在區間（-1，1）上，f（

1

2

）=-1，且當x，y∈（-1，1）時，恒有f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）．又數列{a_n}滿足，a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+an2

．
（I ）證明：f（x）在（-1，1）上是奇函數
（ II ）求f（a_n）的表達式；
（III）設b_n=-

1

2f(an)

，T_n為數列{b_n}的前n項和，試問是否存在正整數m，n，使得

4Tn-m

4Tn+1-m

＜

1

2

成立？若存在，求出這樣的正整數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用賦值法：令x=y=0時，可求f （0）=0．令x=0，y∈（-1，1），則可得f （-y）=-f （y）可證
（Ⅱ）令x=a_n，y=-a_n，可得f(an)-f(-an)=f(

2an

1+an2

)，結合已知得2f （a_n）=f （a_n+1+1），可得

f(an+1)

f(an)

=2，利用等比數列的通項可求
（III）由bn=-

1

2f(an)

=

1

2n

，利用等比數列的求和可求T_n，代入不等式

4Tn-m

4Tn+1-m

＜

1

2

整理得

2n(4-m)-4

2n(4-m)-2

＜

1

2

．令t=2ⁿ（4-m），可求得2＜t＜6．即2＜2ⁿ（4-m）＜6，利用反證法
假設存在正整數m，n使得上述不等式成立，結合2ⁿ是偶數，4-m為整數，可得

2n=4 4-m=1

或

2n=2 4-m=2

可求

解答：（Ⅰ）證明：令x=y=0時，則由已知有f（0）-f（0）=f（0）
∴f （0）=0．
再令x=0，y∈（-1，1），則有f（0）-f（y）=f（-y），即f （-y）=-f （y）
∴f （x）是（-1，1）上的奇函數．…（4分）
（Ⅱ）令x=a_n，y=-a_n，于是f(an)-f(-an)=f(

2an

1+an2

)
由已知得2f （a_n）=f （a_n+1+1），
∴

f(an+1)

f(an)

=2，
∴數列{f（a_n）}是以f（a1）=f（

1

2

）=-1為首項，2為公比的等比數列．
∴f(an)=-1•2n-1=-2n-1…（8分）
（III）bn=-

1

2f(an)

=

1

2n

，
∴Tn=b₁+b₂+…+b_n=

1 2 (′1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．…（10分）
于是不等式

4Tn-m

4Tn+1-m

＜

1

2

即

4(1- 1 2n )-m

4(1-  1 2n+1 )-m

＜

1

2

，
整理得

2n(4-m)-4

2n(4-m)-2

＜

1

2

．
令t=2ⁿ（4-m），于是變形為

t-4

t-2

＜

1

2

，等價于2＜t＜6．
即2＜2ⁿ（4-m）＜6．
假設存在正整數m，n使得上述不等式成立，
∵2ⁿ是偶數，4-m為整數，
∴2ⁿ（4-m）=4．
于是 

2n=4 4-m=1

或

2n=2 4-m=2

  
解得

m=3 n=2

或

m=2 n=1

因此存在正整數m=2，n=1或m=3，n=2使原不等式成立．…（12分）

點評：本題綜合考查了抽象函數奇偶性的判斷，注意賦值法的應用，構造等比數列求和的應用及不等式解法的應用，解答本題還要求考生具備一定的綜合應用的能力