Question

（2012•廈門模擬）已知函數f(x)=

1

3

a

x

3

+

1

2

a

x

2

-bx+b-1在x=1處的切線與x軸平行，若函數f（x）的圖象經過四個象限，則實數a的取值范圍是

3

16

＜a＜

6

5

．

Answer 1

分析：求函數的極值，要使圖象經過四個象限只要兩極值符號不同即可．

解答：解：求導函數可得f′（x）=ax²+ax-b
∵函數f(x)=

1

3

a

x

3

+

1

2

a

x

2

-bx+b-1在x=1處的切線與x軸平行
∴f′（1）=0
∴2a-b=0
∴b=2a
∴f′（x）=ax²+ax-2a=a（x+2）（x-1），f(x)=

1

3

a

x

3

+

1

2

a

x

2

-2ax+2a-1
令f′（x）=a（x+2）（x-1）=0得x=-2或x=1
x∈（-∞，-2）時f′（x）的符號與x∈（-2，1）時f′（x）的符號相反，x∈（-2，1）時f′（x）的符號與x∈（1，+∞）時f′（x）的符號相反
∴函數在-2與1處取極值
∵圖象經過四個象限
∴f（-2）•f（1）＜0，即（

16a

3

-1）（

5a

6

-1）＜0
∴

3

16

＜a＜

6

5

故答案為：

3

16

＜a＜

6

5

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的極值，利用兩極值符號不同是關鍵．