Question

已知圓的圓心與點關于直線對稱，圓與直線相切.
（1）設為圓上的一個動點，若點，，求的最小值；
（2）過點作兩條相異直線分別與圓相交于，且直線和直線的傾斜角互補，為坐標原點，試判斷直線和是否平行？請說明理由.

Answer 1

（1）-4；（2）直線和一定平行.

試題分析：本題主要考查圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、向量的點乘、平面內兩點間距離公式、點到直線的距離等基礎知識.考查數形結合的數學思想.考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用兩個點關于直線對稱，列出方程組，解出，即得到圓心坐標，再利用點到直線的距離求半徑，寫出圓的方程，利用向量的點乘列出式子，數形結合找出最小值；第二問，利用直線與圓的位置關系列出方程，得出兩點的橫坐標，利用斜率公式寫出式子，判斷兩個斜率是否相等.
試題解析：（Ⅰ）設圓心，則中點坐標為，            1分
∵圓心與點關于直線對稱，
∴，解得，                 3分
∴圓心到直線的距離，           4分
∴求圓的方程為．                                 5分
設，則，
∴，            6分
作直線：，向下平移此直線，當與圓相切時取得最小值，這時切點坐標為，
所以·的最小值為－4．                                8分
（Ⅱ）由題意知，直線和直線的斜率存在，且互為相反數，故可設：，
：，由，得．
因為點的橫坐標一定是該方程的解，故可得，同理，，
則．
所以，直線和一定平行．                                 14分