Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中點． （Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為 ，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PC， ∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC= ，
∴AC2+BC2=AB2 ， ∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）如圖，以C為原點，取AB中點F， 、 、 分別為x軸、y軸、z軸正向，建立空間直角坐標系，則C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．
設P（0，0，a）（a＞0），則E（ ，﹣ ， ），
=（1，1，0）， =（0，0，a）， =（ ，﹣ ， ），
取 =（1，﹣1，0），則 = =0， 為面PAC的法向量．
設 =（x，y，z）為面EAC的法向量，則 = =0，
即 取x=a，y=﹣a，z=﹣2，則 =（a，﹣a，﹣2），
依題意，|cos＜ ， ＞|= = = ，則a=2．
于是 =（2，﹣2，﹣2）， =（1，1，﹣2）．
設直線PA與平面EAC所成角為θ，則sinθ=|cos＜ ， ＞|= = ，
即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）證明平面EAC⊥平面PBC，只需證明AC⊥平面PBC，即證AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根據題意，建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出面PAC的法向量 =（1，﹣1，0），面EAC的法向量 =（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值為 ，可求a的值，從而可求 =（2，﹣2，﹣2）， =（1，1，﹣2），即可求得直線PA與平面EAC所成角的正弦值．