Question

【題目】已知函數f（x）=2 sin（x+ ）cos（x+ ）+sin2x+a的最大值為1．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）將f（x）的圖象向左平移 個單位，得到函數g（x）的圖象，若方程g（x）=m在x∈[0， ]上有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：解：∵函數f（x）=2 sin（x+ ）cos（x+ ）+sin2x+a= sin（2x+ ）+sin2x+a

= cos2x+sin2x+a=2sin（2x+ ）+a 的最大值為2+a=1，

∴a=﹣1．

令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，

可得函數的增區間為[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z

（2）解：∵將f（x）的圖象向左平移 個單位，得到函數g（x）=2sin[2（x+ ）+ ]﹣1

=2sin（2x+ ）﹣1的圖象，

∵x∈[0， ]，∴2x+ ∈[ ， ]，

∴當2x+ = 時，g（x）取得最大值為 ﹣1；

當2x+ = 時，g（x）取得最小值﹣3，

故﹣3≤m≤ ﹣1

【解析】（1）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數的增區間，求得函數f（x）的單調遞增區間．（2）利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數的定義域和值域，求得m的范圍．
【考點精析】掌握函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換是解答本題的根本，需要知道圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．