Question

設函數
(1)設,,證明:在區間內存在唯一的零點;
(2) 設,若對任意,有,求的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,設是在內的零點,判斷數列的增減性.

Answer 1

(1) 見解析；（2）；（3）見解析.

試題分析：(1) 先根據零點存在性定理判斷在在內存在零點，在利用導數說明函數在上是單調遞增的，從而說明在區間內存在唯一的零點；（2）此問可用兩種解法:第一種，當時,，根據題意判斷出在上最大值與最小值之差，據此分類討論如下:(ⅰ)當；(ⅱ)當；(ⅲ)當,綜上可知,；第二種，用表示中的較大者，直接代入計算即可；（3）先設出零點，然后根據在上是遞增的得出結論.
試題解析：(1),時, 
∵,∴在內存在零點. 又當時, ,∴ 在上是單調遞增的,所以在內存在唯一零點.
(2)當時, ，對任意都有等價于在上最大值與最小值之差,據此分類討論如下:(ⅰ)當,即時, ,與題設矛盾
(ⅱ)當,即時, 恒成立
(ⅲ)當,即時, 恒成立.
綜上可知, 
注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并證明如下:
用表示中的較大者.當,即時,
  
 恒成立 .
(3)證法一 設是在內的唯一零點 
,, 
于是有 
又由(1)知在上是遞增的,故, 所以,數列是遞增數列.
證法二 設是在內的唯一零點
 則的零點在內,故,
所以,數列是遞增數列.