Question

【題目】設函數f（x）=xea﹣x+bx，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=（e﹣1）x+4，
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=（e﹣1）x+4，

∴當x=2時，y=2（e﹣1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，

同時f′（2）=e﹣1，

∵f（x）=xea﹣x+bx，

∴f′（x）=ea﹣x﹣xea﹣x+b，

則 ，

即a=2，b=e；

（2）解：∵a=2，b=e；

∴f（x）=xe2﹣x+ex，

∴f′（x）=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=（1﹣x）e2﹣x+e，

f″（x）=﹣e2﹣x﹣（1﹣x）e2﹣x=（x﹣2）e2﹣x，

由f″（x）＞0得x＞2，由f″（x）＜0得x＜2，

即當x=2時，f′（x）取得極小值f′（2）=（1﹣2）e2﹣2+e=e﹣1＞0，

∴f′（x）＞0恒成立，

即函數f（x）是增函數，

即f（x）的單調區間是（﹣∞，+∞）

【解析】（1）求函數的導數，根據導數的幾何意義求出函數的切線斜率以及f（2），建立方程組關系即可求a，b的值；（2）求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系即可求f（x）的單調區間．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．