Question

【題目】如圖，在空間直角坐標系中，已知正四棱錐的高，點和分別在軸和軸上，且，點是棱的中點.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出和平面PAB的法向量，利用向量法能求出直線AM與平面PAB所成角的正弦值．（2）求平面PBC的法向量和平面PAB的法向量，利用向量法求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

（1）P（0，0，2），A（0，－1，0），B（1，0，0），M（0，，1），

＝（0，1，2），＝（1，1，0），設平面PAB的法向量為＝（x，y，z），

則，取x＝2，y＝－2，z＝1，＝（2，－2，1），

＝（0，，1），

，得cosθ＝＝,

即線與平面所成角的正弦值為.

（2）C（0，1，0），P（0，0，2），B（1，0，0）

＝（－1，0，2），＝（－1，1，0），設平面PBC的法向量為＝（x，y，z），

則，取x＝2，y＝2，z＝1，＝（2，2，1），

，得cosα＝，

二面角的余弦值為.