Question

（本小題滿分12分）已知數列，與函數，，滿足條件：，.
（I）若，，，存在，求的取值范圍；
（II）若函數為上的增函數，，，，證明對任意，（用表示）．

Answer 1

（I）-2＜t＜2且
（II）對任意的，＜

解法一：由題設知得，又已知,可得
由 其首項為.于是

又lima_n存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且

解法二.由題設知tb_n+1=2b_n+1,且可得

由可知,所以是首項為,公的等比數列.

由 可知，若存在，則存在.于是可得0＜＜1,所以-1＜t.
=2
解法三:由題設知tb_n+1=2b_n+1,即
①
于是有
②
②-①得

由，所以是首項為b公比為的等比數列，于是

（b₂-b₁）+2b.
又存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且

說明：數列通項公式的求法和結果的表達形式均不唯一，其他過程和結果參照以標準.
(Ⅱ)證明：因為.
下面用數學歸納法證明＜.
(1)當n=1時，由f(x)為增函數,且＜1,得
＜1
＜1
＜，
即＜，結論成立.
（2）假設n=k時結論成立，即＜.由f(x)為增函數，得
＜f即＜進而得
＜f()即＜.
這就是說當n=k+1時，結論也成立.
根據（1）和（2）可知，對任意的，＜.